TOPSIS

TOPSIS法简述

TOPSIS法，又称理想解法。这种方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对贴进度，远离最劣解的程度来进行排序。

方法和原理

设多属性决策方案集为 $D=$ { $d_i|i=1,2,\dots ,n$ } ，衡量方案优劣的属性变量为 $x_i$ ，这时方案集D中每个方案的n个属性值构成的向量是 $[a_{i1},\dots ,a_{in}]$ ，它作为空间中的一个点，能唯一地表征方案 $d_i$ 。

正理想解 $C^{\ast }$ 是一个方案集中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好值。

而负理想解 $C^0$ 是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。

在方案集中，尽可能靠近正理想解而原理负理想解的方案就是最佳方案。

在实际操作中我们需要解决如下几个问题：

1. 数据的规律
2. 距离的计算方法和衡量方法
3. 消除量纲的影响

算法的步骤

用向量规划化的方法求得规范决策矩阵

设多属性决策问题的决策矩阵 $$

规范化决策矩阵 $$

其中 $$

这一步用来消除量纲的影响

对于每一项属性，其所占的评价权重也不尽相同，因此我们需要构造加权规范矩阵 $$

设由决策人给定各属性的权重向量为 $$ ，则

$$

确定正理想解和负理想解

设正（负）理想解的第j个属性值为 $$ ( $$ ) ，则：

$$

$$

确定距离公式

各方案到正（负）理想解的距离为：

$$

$$

计算综合评价指数

$$

根据综合评价指数便可得出方案的优劣次序。

数据的处理

属性值比例化

属性值不好直接从数值大小进行判断时，我们需要对数据进行预处理，使得表中任意属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。

非量纲化

不同属性之间量纲的不同使属性具有不可公度性，我们需要在数据处理时消除量纲的影响。

归一化

属性之间数值大小差别较大，为了方便直观比较，我们需要对属性的数值进行归一化。

常见的处理方法

1. 线性变换

$$

2. 标准0-1变换

为了使最优为1，最差为0

对效益性属性：
$$

对成本性属性：
$$

3. 区间属性的变换
   属性在某一个区间范围内最优，我们设给出的最优区间为 $$ , $$ 为无法容忍下限， $$ 为无法容忍上限，则

$$

变换后的属性值对应的函数图形为一般梯形。当最优区间的上下界相等，退化为三角形。

4. 向量规范化

$$

经常用于计算欧氏距离的场合。